一、定义

定义1 命题是一个非真即假的陈述句。
定义2 谓词公式的规则：
    1. 单个谓词是谓词公式，称为原子谓词公式。
    2. 若A是谓词公式，则﹁A也是谓词公式。
    3. 若A，B都是谓词公式，则A∧B，A∨B，A→B，A↔B也都是谓词公式。
    4. 若A是谓词公式，则(∀x)A,(∃x)A也都是谓词公式。
    5. 有限步应用1～4生成的公式也是谓词公式。
定义3 如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如果P在每个非空个体域上均永真，则称P永真。
定义4 如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值F，则称P在D上是永假的；如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永假。
定义5 对于谓词公式P，如果至少存在一个解释使得P在此解释下的真值为T，则称P是可满足的，否则，则称P是不可满足的。
定义6 设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同的个体域，若对D上的任何一个解释，P与Q都有相同的真值，则称公式P和Q在D上是等价的。如果D是任意个体域，则称P和Q是等价的，记为P⇔Q 。
定义7 对于谓词公式P与Q，如果P→Q永真，则称公式P永真蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记为P⇒Q。

二、命题

命题（proposition）：一个非真即假的陈述句。

  • 若命题的意义为真，称它的真值为真，记为 T。例如：3<5
  • 若命题的意义为假，称它的真值为假，记为 F。例如：太阳从西边升起

一个命题可在一种条件下为真，在另一种条件下为假。例: 1＋1＝10

  • 命题逻辑：研究命题及命题之间关系的符号逻辑系统。P：北京是中华人民共和国的首都
  • 命题逻辑表示法：无法把它所描述的事物的结构及逻辑特征反映出来，也不能把不同事物间的共同特征表述出来。P：老李是小李的父亲。P：李白是诗人；Q：杜甫也是诗人

三、谓词

谓词的一般形式： P (x1, x2,…, xn)

  • 个体 x1, x2,…, xn ：某个独立存在的事物或者某个抽象的概念；
  • 谓词名 P：刻画个体的性质、状态或个体间的关系。
1. 个体是常量：一个或者一组指定的个体。
  • “老张是一个教师”：一元谓词 Teacher (Zhang)
  • “5>3” ：二元谓词 Greater (5, 3)
  • “Smith作为一个工程师为IBM工作”：
    三元谓词 Works (Smith, IBM, engineer)
2.个体是变元（变量）：没有指定的一个或者一组个体。
  • “x<5” ：Less(x, 5)
3.个体是函数：一个个体到另一个个体的映射。
  • “小李的父亲是教师”：Teacher (father (Li) )
4.个体是谓词
  • “Smith作为一个工程师为IBM工作”：
    二阶谓词 Works (engineer (Smith), IBM)

四、谓词公式

连接词（连词）

（1）﹁： “否定” （ negation ）或 “非”。“机器人不在2号房间”：﹁ Inroom (robot, r2)
（2）∨： “析取”（disjunction）——或。“李明打篮球或踢足球”：Plays (Liming, basketball) ∨ Plays (Liming, football)
（3）∧： “合取”（conjunction）——与。“我喜欢音乐和绘画”：Like (I, music) ∧ Like (I, painting)
（4）=〉：“蕴含”(implication)或 “条件”(condition)。“如果刘华跑得最快，那么他取得冠军。” ：RUNS (Liuhua，faster)→WINS (Liuhua ，champion)
（5）<=>：“等价”（equivalence）或“双条件”（bicondition）。P Q: “P当且仅当Q”。

谓词逻辑真值表

量词（quantifier）

1）全称量词（universal quantifier）：“对个体域中的所有（或任一个）个体 x ”。

“所有的机器人都是灰色的”：

2）存在量词（existential quantifier）：“在个体域中存在个体 x ”。

“1号房间有个物体”：

全称量词和存在量词举例：

全称量词和存在量词出现的次序将影响命题的意思。

定义 可按下述规则得到谓词演算的谓词公式：

连接词的优先级别从高到低排列：
        ﹁， ∧， ∨， =>,<=>

量词的辖域

  • 量词的辖域：位于量词后面的单个谓词或者用括弧括起来的谓词公式。
  • 约束变元与自由变元：辖域内与量词中同名的变元称为约束变元，不同名的变元称为自由变元。

谓词公式的性质

1. 谓词公式的解释

谓词公式在个体域上的解释：个体域中的实体对谓词演算表达式的每个常量、变量、谓词和函数符号的指派。
Friends (george, x)
Friends (george, susie) T
Friends (george, kate) F
对于每一个解释，谓词公式都可求出一个真值（T或F）。

2. 谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性
定义2.3 如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如果P在每个非空个体域上均永真，则称P永真。
定义2.4 如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值F，则称P在D上是永假的；如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永假。
定义2.5 对于谓词公式P，如果至少存在一个解释使得P在此解释下的真值为T，则称P是可满足的，否则，则称P是不可满足的。
3. 谓词公式的等价性
定义2.6 设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同的个体域，若对D上的任何一个解释，P与Q都有相同的真值，则称公式P和Q在D上是等价的。如果D是任意个体域，则称P和Q是等价的，记为

P<=> Q

  • 德.摩根律(De. Morgen)
  • 连接词化规律（蕴含、等价等值式）
  • 量词转换律

4. 谓词公式的永真蕴含

定义2.7 对于谓词公式P与Q，如果P→Q永真，则称公式P永真蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记为P Q。
  • 假言推理
  • 拒取式推理
  • 假言三段论

谓词逻辑的其他推理规则

  • P规则：在推理的任何步骤上都可引入前提。
  • T规则：在推理过程中，如果前面步骤中有一个或多个公式永真蕴含公式S，则可把S引入推理过程中。
  • CP规则：如果能从任意引入的命题R和前提集合中推出S来，则可从前提集合推出R → S来。

一阶谓词逻辑知识表示方法

谓词公式表示知识的步骤：

（1）定义谓词及个体。
（2）变元赋值。
（3）用连接词连接各个谓词，形成谓词公式。

上面两张表分别为Occupant和Telephone，如果用一阶谓词表示其关系应该如何表示？

用一阶谓词表示：
        Occupant（Zhang ， 201）
        Occupant（Li，201）
        Occupant（Wang， 202）
        Occupant（Zhao， 203）
        Telephone（491，201）
        Telephone（492，201）
        Telephone（451，202）
        Telephone（451，203）

一阶谓词逻辑表示法的特点

优点：
  • 自然性
  • 精确性
  • 严密性
  • 容易实现
局限性：
  • 不能表示不确定的知识
  • 组合爆炸
  • 效率低
应用：
  1. 自动问答系统（Green等人研制的QA3系统）
  2. 机器人行动规划系统（Fikes等人研制的STRIPS系统）
  3. 机器博弈系统（Filman等人研制的FOL系统）
  4. 问题求解系统（Kowalski等设计的PS系统）
文档更新时间: 2023-03-01 15:29   作者：admin