经典逻辑

逻辑学的公理系统

我们知道，任何理工学科都有自己的公理系统，依据某个公理集，通过推导得出整个系统的结论，那么逻辑学同样也会有公理。有了公理，我们才能从根本上学习逻辑学，才能知道逻辑的起点在哪，才不会迷茫，不会陷入循环论证的怪圈

符号

命题符号：a,b,c,d,e
连接词：¬,∨,∧,→…（非、或，且，如果……那么）
其中a、b、c、d是抽象的命题概念，根据你的系统的变化而变化。

命题

• 命题符号都是命题
• 如果a是命题，那么¬a是命题
• 如果a，b是命题，那么a∨b是命题
• 只有上述命题才称为命题

逻辑学的定义里，只有¬、∨是基本符号，∧，→这两个符号都是通过真值表定义出来的，

在命题的基础上还有如下衍生的分类：

• 如果一个命题不包含连接词，则称为原子命题，如“我是人”是一个原子命题。
• 如果一个命题包含连接词，则称为复合命题，如“我不是人”是一个复合命题

命题基本公理

• 排中律：如果a是命题，那么a与┐a只有一个为真

其实排中律是¬a的真值定义，即¬a的真值表为：

之所以要单独拿出来，是因为这个非常的重要，很多人在学逻辑学的过程中产生的迷惑，都是因为在和现实生活的结合中发现很多场合下，排中律是不成立的，但是又使用了经典逻辑学的一些结论，导致了思维的混乱。在经典逻辑学的体系内，你不能对排中律产生疑惑，必须承认它的正确性。

定义

• a∧b 定义为¬(¬a∨¬b）
• a→b定义为¬a∨b （如果……那么……）
• a↔︎b定义为(¬a∨b )∧(¬b∨a )(当且仅当)

在这些定义里面，最有争议的应该就是a→b这个符号了，因为它的真值表如下）：

也就是a→b为假，当且仅当a真b假。

至此可以利用永假式推导出一些奇怪的命题，比如如果太阳从西边升起，那么霍格沃兹学院存在，这是个真命题

那么为什么要这样定义呢？从现实的角度来说，这个命题其实是没有意义的，因为太阳永远不可能从西边升起，那么这个假设无论是真命题还是假命题，对现实世界一点影响都没有。但是从定义的角度，我一旦这样定义了，那么a→b就可以定义为¬a∨b，这样我们就可以简化符号集，得到更为凝练的逻辑公理体系，也方便计算。

至此逻辑学公理还未引入，但是已经可以通过真值表推出一些有用的方法了，比如反证法

反证法的证明：

已知b为真，且¬a→¬b为真。令¬a为真，则¬b为真，违反排中律。且知¬a→¬b为真，那么¬b为假，则¬a一定为假，则a为真

可以看到，反证法是完全基于排中律的，如果你不承认排中律，则反证法不成立。

再PS:可以看到，反证法的使用，不需要证明一个蕴含式命题与其逆否命题等价，直接从真值定义就可以得到。要证明蕴含式命题与其逆否命题等价，需要用到逻辑学公理

复合命题的相互转化

在进入逻辑学公理前，我们先做一些推导的热身，之前只是定义了¬,∨,∧,→及命题的概念，但是包含这4个连接词的命题之间相互转化的关系我们还是没有梳理清楚，这些结论无论是日常生活还是科学研究都会经常用到

严格来说，下面的证明是不规范的，但是从学习难易的角度，先引入吧。真正引入真值表需要真值指派

先引入”=“号吧

假设a是命题，b是命题，且a命题的真值和b命题相同，则a=b

定理1：¬(a∨b)=¬a∧¬b 证明：根据∧的定义，¬a∧¬b = ¬(¬(¬a)∨¬(¬b))=¬(a∨b)
即“我会游泳或我会跑步”的否命题是“我不会游泳且我不会跑步”，这里的否命题指真值与原命题完全相反
定理2：¬(a→b)=a∧¬b 证明：根据→的定义，¬(a→b)=¬(¬a∨b) ；根据定理1，¬(¬a∨b) =(¬(¬a))∧¬b=a∧¬b,则¬(a→b)=a∧¬b
即”如果我是人，那么我要吃饭“的否命题是”我是人，且我不用吃饭“