任务描述
本关任务：掌握谓词逻辑的公式以及性质，并完成相应的选择题。
相关知识
为了完成本关任务，你需要掌握：
1、连接词与量词；
2、谓词公式定义；
3、谓词公式的性质。
谓词公式
无论是命题逻辑还是谓词逻辑，均可用下面的连接词把一些简单的命题连接起来构成一个复杂的命题。下面我们将介绍大量今后要用到的运算符号，请同学们耐心地看完。
连接词
1.¬:“否定”或“非”。它表示否定它后面的命题。
例如：“机器人不在2号房间”表示为 ¬INRROOM(Robot,R2)
2.∨:“析取”。它表示两个命题具有或关系。
例如：“李明打篮球或踢足球”表示为Play(Liming,basketball)∨Plays(Liming,football)
3.∧:“合取”。它表示两个命题有与关系。
例如：“我喜欢音乐和绘画”表示为Like(I,music)∧Like(I,painting)
4.→:“蕴含”或者“条件”。P→Q表示“如果P，则Q”，其中P是条件的前提，Q是条件的后件。
例如：“如果刘华跑得最快，那么他取得冠军”表示为RUNS(Liuhua,fastest)→WINS(Liuhua,champion)
5.↔：“等价”或双条件。P↔Q表示P当且仅当Q。
对于P和Q赋予不同的真假时，我们还需要会判断P和Q用连词连接起来的真假，下面是谓词逻辑真值表：
量词
为了刻画谓词与个体之间的关系，又引入了两个量词：全称量词和存在量词。
1.全称量词∀x：对个体域中的所有个体x。
例如：“所有的机器人都是灰色的”表示为(∀(x)[ROBOT(x)→COLOR(x,GRAY)])
2.存在量词∃x：在个体域中存在个体x。
例如：“1号房间有个物体”表示为(∃x)INROOM(x,R1)
全称量词和存在量词还可能出现在同一个命题中，例如：设谓词F(x,y)表示x和y是朋友，则：
1.(∀x)(∃y)F(x,y)表示对于个体域中的任何个体x都存在个体y，x与y是好朋友。
2.(∃x)(∀y)F(x,y)表示在个体域中存在个体x，与个体域中的任何个体y都是朋友。
3.(∃x)(∃y)F(x,y)表示在个体域中存在个体x与个体y，x与y是朋友。
4.(∀x)(∀y)F(x,y)表示对于个体域中的任何两个个体x和y都是朋友。
全称量词和存在量词还可能出现在同一个命题中时，这时量词的次序将影响命题的意思。例如：
(∀x)(∃y)（Employee(x)→Manager(y,x）表示每个雇员都有一个经理。
(∃y)(∀x)（Employee(x)→Manager(y,x）表示有一个人是所有雇员的经理。
谓词公式
各种连词和量词都学习以后，我们可以正式的定义谓词公式：
定义可按如下规则得到谓词公式：
1.单个谓词是谓词公式，称为原子谓词公式。
2.若A是谓词公式则，¬A也是谓词公式。
3.若A，B都是谓词公式，则A∧B，A∨B，A→B，A↔B也都是谓词公式。
4.若A是谓词公式，则(∀x)A,(∃x)A也是谓词公式
5.有限应用1—4生成的公式也是谓词公式。
连接词的优先级从高到低排列：¬，∧，∨，→，↔
量词的辖域
在这里，我们还需要掌握一个小知识点：谓词的辖域。位于量词后面的单个谓词或者用括弧括起来的谓词公式称为量词的辖域，辖域内与量词中同名的变元称为约束变元，不同名的变元称为自由变元。
例如：
(∃x)(P(x,y)→Q(x,y))∨R(x,y)
(P(x,y)→Q(x,y))是(∃x)的辖域，辖域内的变元x是受(∃x)约束的变元，R(x,y)中的x是自由变元。公式中的所有y都是自由变元。
谓词公式的性质
上面我们已经把谓词公式全部介绍完了，接着，我们要掌握一些公式的性质。在这之前，我们还需要了解谓词公式的解释。在命题逻辑中，对命题中的各个变元的一次真值指派称为命题公式的一个解释。对于每一个解释，谓词公式都可以求出一个真值（T或F）。下面是谓词公式的一些性质。这些性质我们都以定义的方式给出。
首先是谓词公式的永真性、可满足性、不可满足性：
定义1：如果谓词公式P对个体域D上的任何一个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如果P在每个非空个体域上均永真，则称P永真。
定义2:对于谓词公式P，对个体域D上的任何一个解释都取得真值F，则称P在D上是永假的；如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永假。
定义3：对于谓词公式P，如果至少存在一个解释使得公式P在此解释下的真值为T，则称公式P是可满足的，否则，则称公式P是不可满足的。
定义4：设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同的个体域，若对D上的任何一个解释，P与Q都有相同的真值，则称公式P和Q是等价的，记作P⇔Q。
下面列出一些今后要用的主要等价式：
交换律:
P∨Q⇔Q∨P
P∧Q⇔Q∧P
结合律:
(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)
(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)
分配律:
P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)
P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)
德摩根律:
¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q
¬(P∧Q)⇔¬P∨¬Q
双重否定律:
¬¬P⇔P
吸收律:
P∨(P∧Q)⇔P
P∧(P∨Q)⇔P
补余律（否定律）:
P∨¬P⇔T
P∧¬P⇔F
连接词化归律:
P→Q⇔¬P∨Q
逆否律:
P→Q⇔¬Q→¬P
量词转换律:
¬(∃x)P⇔(∀x)(¬P)
¬(∀x)P⇔(∃x)(¬P)
量词分配律:
(∀x)(P∧Q)⇔(∀x)P∧(∀x)Q
(∃x)(P∨Q)⇔(∃x)P∨(∃x)Q
定义5（谓词公式的永真蕴含）：对于谓词公式P与Q，如果P→Q永真，则称公式P永真蕴含Q，记作P⇔Q,且称Q为P的逻辑结论，P为Q的前提。
下面给出一些今后要用到的永真蕴含式：
假言推理：
P,P→Q⇒Q
即由P为真及P→Q为真，可推出Q为真。
拒取式推理：
¬Q,P→Q⇒¬P
即由Q为假及P→Q为真，可推出Q为假。
假言三段论：
P→Q,Q→R⇒P→R
即由P→Q,Q→R为真可推出P→R为真。
全称固化：
(∀x)P(x)⇒P(y)
其中，y是个体域中的任一个体，利用此永真蕴含式可消去公式中的全称量词。
存在固化：
(∃x)P(x)⇒P(y)
其中，y是个体域中某一个可使P(y)为真的个体，利用此永真蕴含式可消去公式中的存在量词。
反证法：
定理6：Q是P1,P2,…,Pn的逻辑结论，当且仅当(P1∧P2∧…∧Pn)∧¬Q是不可满足的。
这个定理是归结反演的理论依据，在后面的推理中我们会去详细证明。
目前为止，我们已经把等价式及永真蕴含式进行推理演绎的重要依据罗列出来，这些公式又称为推理规则，在后面介绍人工智能推理的实训时，我们将会大量用到这些推理规则。
作答要求
根据相关知识，按照要求完成选择题任务。
题目
1、（ ）表示“有的人大家都喜欢他”
A、(∀x)(∀y) Love ( x , y )
B、(∃y)(∀x) Love ( x , y )
C、(∀x)(∃y) Love ( x , y )
D、(∃x)(∃y) Love ( x , y )
2、对于谓词公式：(∃x)(P(x,y)→Q(x,y))∨R(x,y)，下列说法错误的是 ( )
A、P ( x , y )中的 y 是约束变元。
B、P ( x , y )中的 x 是约束变元。
C、R ( x , y )中的 x 是约束变元。
D、Q ( x , y )中的 x 是约束变元。
3、（多选题）下列的式子哪些属于等价式（ ）
A、P ∨ Q ⇔ Q ∨ P
B、¬¬ P ⇔ P
C、( P ∧ Q )∧ R ⇔ P ∧( Q ∨ R)
D、(∀ x )( P ∧ Q ) ⇔ (∃ x ) P ∨(∃ x ) Q
4、P的真值为F，Q的真值为F，则¬(P↔Q)的真值为（ ）
A、T
B、F
5、对于谓词公式P与Q，如果P→Q永真，则称公式P永真蕴含Q，记作P⇔Q,且称Q为P的逻辑结论，Q为P的前提。
A、对
B、错
